Для чего используется регрессионный анализ. Основы линейной регрессии

Регрессионный анализ исследует зависимость определенной величины от другой величины или нескольких других величин. Регрессионный анализ применяется преимущественно в среднесрочном прогнозировании, а также в долгосрочном прогнозировании. Средне- и долгосрочный периоды дают возможность установления изменений в среде бизнеса и учета влияний этих изменений на исследуемый показатель.

Для осуществления регрессионного анализа необходимо:

наличие ежегодных данных по исследуемым показателям,

наличие одноразовых прогнозов, т.е. таких прогнозов, которые не поправляются с поступлением новых данных.

Регрессионный анализ обычно проводится для объектов, имеющих сложную, многофакторную природу, таких как, объем инвестиций, прибыль, объемы продаж и др.

При нормативном методе прогнозирования определя­ются пути и сроки достижения возможных состояний явле­ния, принимаемых в качестве цели. Речь идет о прогнози­ровании достижения желательных состояний явления на основе заранее заданных норм, идеалов, стимулов и целей. Такой прогноз отвечает на вопрос: какими путями можно достичь желаемого? Нормативный метод чаще применяется для программ­ных или целевых прогнозов. Используются как количествен­ное выражение норматива, так и определенная шкала воз­можностей оценочной функции

В случае использования количественного выражения, например физиологических и рациональных норм потреб­ления отдельных продовольственных и непродовольствен­ных товаров, разработанных специалистами для различных групп населения, можно определить уровень потребления этих товаров на годы, предшествующие достижению ука­занной нормы. Такие расчеты называют интерполяцией. Интерполяция - это способ вычисления показателей, недо­стающих в динамическом ряду явления, на основе установ­ленной взаимосвязи. Принимая фактическое значение по­казателя и значение его нормативов за крайние члены ди­намического ряда, можно определить величины значений внутри этого ряда. Поэтому интерполяцию считают норма­тивным методом. Ранее приведенная формула (4), исполь­зуемая в экстраполяции, может применяться в интерполя­ции, где у п будет характеризовать уже не фактические данные, а норматив показателя.

В случае использования в нормативном методе шкалы (поля, спектра) возможностей оценочной функции, т. е. фун­кции распределения предпочтительности, указывают при­мерно следующую градацию: нежелательно - менее же­лательно - более желательно - наиболее желательно - оптимально (норматив).

Нормативный метод прогнозирования помогает выра­ботать рекомендации по повышению уровня объективнос­ти, следовательно, эффективности решений.

Моделирование , пожалуй, самый сложный метод про­гнозирования. Математическое моделирование означает опи­сание экономического явления посредством математичес­ких формул, уравнений и неравенств. Математической ап­парат должен достаточно точно отражать прогнозный фон, хотя полностью отразить всю глубину и сложность прогно­зируемого объекта довольно трудно. Термин "модель" об­разован от латинского слова modelus, что означает "мера". Поэтому моделирование правильнее было бы считать не методом прогнозирования, а методом изучения аналогично­го явления на модели.

В широком смысле моделями называются заместители объекта исследования, находящиеся с ним в таком сход­стве, которое позволяет получить новое знание об объек­те. Модель следует рассматривать как математическое опи­сание объекта. В этом случае модель определяется как яв­ление (предмет, установка), которое находиться в некотором соответствии с изучаемым объектом и может его замещать в процессе исследования, представляя информацию об объекте.

При более узком понимании модели она рассматрива­ется как объект прогнозирования, ее исследование позво­ляет получить информацию о возможных состояниях объек­та в будущем и путях достижения этих состояний. В этом случае целью прогнозной модели является получение ин­формации не об объекте вообще, а только о его будущих состояниях. Тогда при построении модели бывает невозмож­но провести прямую проверку ее соответствия объекту, так как модель представляет собой только его будущее состояние, а сам объект в настоящее время может отсут­ствовать или иметь иное существование.

Модели могут быть материальными и идеальными.

В экономике используются идеальные модели. Наиболее совершенной идеальной моделью количественного описания социально-экономического (экономического) явления является математическая модель, использующая числа, формулы, уравнения, алгоритмы или графическое представление. С помощью экономических моделей определяют:

зависимость между различными экономическими по­казателями;

различного рода ограничения, накладываемые на по­казатели;

критерии, позволяющие оптимизировать процесс.

Содержательное описание объекта может быть пред­ставлено в виде его формализованной схемы, которая ука­зывает, какие параметры и исходную информацию нужно собрать, чтобы вычислить искомые величины. Математичес­кая модель в отличие от формализованной схемы содержит конкретные числовые данные, характеризующие объект Разработка математической модели во многом зависит от представления прогнозиста о сущности моделируемого про­цесса. На основе своих представлений он выдвигает рабочую гипотезу, с помощью которой создается аналитическая за­пись модели в виде формул, уравнений и неравенств. В ре­зультате решения системы уравнений получают конкретные параметры функции, которыми описывается изменение ис­комых переменных величин во времени.

Порядок и последовательность работы как элемент организации прогнозирования определяется в зависимости от применяемого метода прогнозирования. Обычно эта ра­бота выполняется в несколько этапов.

1-й этап - прогнозная ретроспекция, т. е. установле­ние объекта прогнозирования и прогнозного фона. Работа на первом этапе выполняется в такой последовательности:

формирование описания объекта в прошлом, что включает предпрогнозный анализ объекта, оценку его параметров, их значимости и взаимных связей,

определение и оценка источников информации, по­рядка и организации работы с ними, сбор и разме­щение ретроспективной информации;

постановка задач исследования.

Выполняя задачи прогнозной ретроспекции, прогнозис­ты исследуют историю развития объекта и прогнозного фона с целью получения их систематизированного описания.

2-й этап - прогнозный диагноз, в ходе которого ис­следуется систематизированное описание объекта прогно­зирования и прогнозного фона с целью выявления тенден­ций их развития и выбора моделей и методов прогнозиро­вания. Работа выполняется в такой последовательности:

разработка модели объекта прогноза, в том числе формализованное описание объекта, проверка сте­пени адекватности модели объекту;

выбор методов прогнозирования (основного и вспо­могательных), разработка алгоритма и рабочих про­грамм.

3-й этап - протекция, т. е. процесс обширной разра­ботки прогноза, в том числе: 1) расчет прогнозируемых па­раметров на заданный период упреждения; 2) синтез от­дельных составляющих прогноза.

4-й этап - оценка прогноза, в том числе его верифи­кация, т. е. определение степени достоверности, точности и обоснованности.

В ходе проспекции и оценки на основании предыдущих этапов решаются задачи прогноза и его оценка.

Указанная этапность является примерной и зависит от основного метода прогнозирования.

Результаты прогноза оформляются в виде справки, док­лада или иного материала и представляются заказчику.

В прогнозировании может быть указана величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта, которая называется ошибкой прогноза, которая рассчитывается по формуле:

;
;
. (9.3)

Источники ошибок в прогнозировании

Основными источниками могут быть:

1. Простое перенесение (экстраполяция) данных из прошлого в будущее (например, отсутствие у фирмы иных вариантов прогноза, кроме 10% роста продаж).

2. Невозможность точно определить вероятность события и его воздействия на исследуемый объект.

3. Непредвиденные трудности (разрушительные события), влияющие на осуществление плана, например, внезапное увольнение начальника отдела сбыта.

В целом точность прогнозирования повышается по мере накопления опыта прогнозирования и отработки его методов.

В статистическом моделировании регрессионный анализ представляет собой исследования, применяемые с целью оценки взаимосвязи между переменными. Этот математический метод включает в себя множество других методов для моделирования и анализа нескольких переменных, когда основное внимание уделяется взаимосвязи между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми. Говоря более конкретно, регрессионный анализ помогает понять, как меняется типичное значение зависимой переменной, если одна из независимых переменных изменяется, в то время как другие независимые переменные остаются фиксированными.

Во всех случаях целевая оценка является функцией независимых переменных и называется функцией регрессии. В регрессионном анализе также представляет интерес характеристика изменения зависимой переменной как функции регрессии, которая может быть описана с помощью распределения вероятностей.

Задачи регрессионного анализа

Данный статистический метод исследования широко используется для прогнозирования, где его использование имеет существенное преимущество, но иногда это может приводить к иллюзии или ложным отношениям, поэтому рекомендуется аккуратно его использовать в указанном вопросе, поскольку, например, корреляция не означает причинно-следственной связи.

Разработано большое число методов для проведения регрессионного анализа, такие как линейная и обычная регрессии по методу наименьших квадратов, которые являются параметрическими. Их суть в том, что функция регрессии определяется в терминах конечного числа неизвестных параметров, которые оцениваются из данных. Непараметрическая регрессия позволяет ее функции лежать в определенном наборе функций, которые могут быть бесконечномерными.

Как статистический метод исследования, регрессионный анализ на практике зависит от формы процесса генерации данных и от того, как он относится к регрессионному подходу. Так как истинная форма процесса данных, генерирующих, как правило, неизвестное число, регрессионный анализ данных часто зависит в некоторой степени от предположений об этом процессе. Эти предположения иногда проверяемы, если имеется достаточное количество доступных данных. Регрессионные модели часто бывают полезны даже тогда, когда предположения умеренно нарушены, хотя они не могут работать с максимальной эффективностью.

В более узком смысле регрессия может относиться конкретно к оценке непрерывных переменных отклика, в отличие от дискретных переменных отклика, используемых в классификации. Случай непрерывной выходной переменной также называют метрической регрессией, чтобы отличить его от связанных с этим проблем.

История

Самая ранняя форма регрессии - это всем известный метод наименьших квадратов. Он был опубликован Лежандром в 1805 году и Гауссом в 1809. Лежандр и Гаусс применили метод к задаче определения из астрономических наблюдений орбиты тел вокруг Солнца (в основном кометы, но позже и вновь открытые малые планеты). Гаусс опубликовал дальнейшее развитие теории наименьших квадратов в 1821 году, включая вариант теоремы Гаусса-Маркова.

Термин «регресс» придумал Фрэнсис Гальтон в XIX веке, чтобы описать биологическое явление. Суть была в том, что рост потомков от роста предков, как правило, регрессирует вниз к нормальному среднему. Для Гальтона регрессия имела только этот биологический смысл, но позже его работа была продолжена Удни Йолей и Карлом Пирсоном и выведена к более общему статистическому контексту. В работе Йоля и Пирсона совместное распределение переменных отклика и пояснительных считается гауссовым. Это предположение было отвергнуто Фишером в работах 1922 и 1925 годов. Фишер предположил, что условное распределение переменной отклика является гауссовым, но совместное распределение не должны быть таковым. В связи с этим предположение Фишера ближе к формулировке Гаусса 1821 года. До 1970 года иногда уходило до 24 часов, чтобы получить результат регрессионного анализа.

Методы регрессионного анализа продолжают оставаться областью активных исследований. В последние десятилетия новые методы были разработаны для надежной регрессии; регрессии с участием коррелирующих откликов; методы регрессии, вмещающие различные типы недостающих данных; непараметрической регрессии; байесовские методов регрессии; регрессии, в которых переменные прогнозирующих измеряются с ошибкой; регрессии с большей частью предикторов, чем наблюдений, а также причинно-следственных умозаключений с регрессией.

Регрессионные модели

Модели регрессионного анализа включают следующие переменные:

• Неизвестные параметры, обозначенные как бета, которые могут представлять собой скаляр или вектор.
• Независимые переменные, X.
• Зависимые переменные, Y.

В различных областях науки, где осуществляется применение регрессионного анализа, используются различные термины вместо зависимых и независимых переменных, но во всех случаях регрессионная модель относит Y к функции X и β.

Приближение обычно оформляется в виде E (Y | X) = F (X, β). Для проведения регрессионного анализа должен быть определен вид функции f. Реже она основана на знаниях о взаимосвязи между Y и X, которые не полагаются на данные. Если такое знание недоступно, то выбрана гибкая или удобная форма F.

Зависимая переменная Y

Предположим теперь, что вектор неизвестных параметров β имеет длину k. Для выполнения регрессионного анализа пользователь должен предоставить информацию о зависимой переменной Y:

• Если наблюдаются точки N данных вида (Y, X), где N < k, большинство классических подходов к регрессионному анализу не могут быть выполнены, так как система уравнений, определяющих модель регрессии в качестве недоопределенной, не имеет достаточного количества данных, чтобы восстановить β.

• Если наблюдаются ровно N = K, а функция F является линейной, то уравнение Y = F (X, β) можно решить точно, а не приблизительно. Это сводится к решению набора N-уравнений с N-неизвестными (элементы β), который имеет единственное решение до тех пор, пока X линейно независим. Если F является нелинейным, решение может не существовать, или может существовать много решений.
• Наиболее распространенной является ситуация, где наблюдается N > точки к данным. В этом случае имеется достаточно информации в данных, чтобы оценить уникальное значение для β, которое наилучшим образом соответствует данным, и модель регрессии, когда применение к данным можно рассматривать как переопределенную систему в β.

В последнем случае регрессионный анализ предоставляет инструменты для:

• Поиска решения для неизвестных параметров β, которые будут, например, минимизировать расстояние между измеренным и предсказанным значением Y.
• При определенных статистических предположениях, регрессионный анализ использует избыток информации для предоставления статистической информации о неизвестных параметрах β и предсказанные значения зависимой переменной Y.

Необходимое количество независимых измерений

Рассмотрим модель регрессии, которая имеет три неизвестных параметра: β 0 , β 1 и β 2 . Предположим, что экспериментатор выполняет 10 измерений в одном и том же значении независимой переменной вектора X. В этом случае регрессионный анализ не дает уникальный набор значений. Лучшее, что можно сделать, оценить среднее значение и стандартное отклонение зависимой переменной Y. Аналогичным образом измеряя два различных значениях X, можно получить достаточно данных для регрессии с двумя неизвестными, но не для трех и более неизвестных.

Если измерения экспериментатора проводились при трех различных значениях независимой переменной вектора X, то регрессионный анализ обеспечит уникальный набор оценок для трех неизвестных параметров в β.

В случае общей линейной регрессии приведенное выше утверждение эквивалентно требованию, что матрица X Т X обратима.

Статистические допущения

Когда число измерений N больше, чем число неизвестных параметров k и погрешности измерений ε i , то, как правило, распространяется затем избыток информации, содержащейся в измерениях, и используется для статистических прогнозов относительно неизвестных параметров. Этот избыток информации называется степенью свободы регрессии.

Основополагающие допущения

Классические предположения для регрессионного анализа включают в себя:

• Выборка является представителем прогнозирования логического вывода.
• Ошибка является случайной величиной со средним значением нуля, который является условным на объясняющих переменных.
• Независимые переменные измеряются без ошибок.
• В качестве независимых переменных (предикторов) они линейно независимы, то есть не представляется возможным выразить любой предсказатель в виде линейной комбинации остальных.
• Ошибки являются некоррелированными, то есть ковариационная матрица ошибок диагоналей и каждый ненулевой элемент являются дисперсией ошибки.
• Дисперсия ошибки постоянна по наблюдениям (гомоскедастичности). Если нет, то можно использовать метод взвешенных наименьших квадратов или другие методы.

Эти достаточные условия для оценки наименьших квадратов обладают требуемыми свойствами, в частности эти предположения означают, что оценки параметров будут объективными, последовательными и эффективными, в особенности при их учете в классе линейных оценок. Важно отметить, что фактические данные редко удовлетворяют условиям. То есть метод используется, даже если предположения не верны. Вариация из предположений иногда может быть использована в качестве меры, показывающей, насколько эта модель является полезной. Многие из этих допущений могут быть смягчены в более продвинутых методах. Отчеты статистического анализа, как правило, включают в себя анализ тестов по данным выборки и методологии для полезности модели.

Кроме того, переменные в некоторых случаях ссылаются на значения, измеренные в точечных местах. Там могут быть пространственные тенденции и пространственные автокорреляции в переменных, нарушающие статистические предположения. Географическая взвешенная регрессия - единственный метод, который имеет дело с такими данными.

В линейной регрессии особенностью является то, что зависимая переменная, которой является Y i , представляет собой линейную комбинацию параметров. Например, в простой линейной регрессии для моделирования n-точек используется одна независимая переменная, x i , и два параметра, β 0 и β 1 .

При множественной линейной регрессии существует несколько независимых переменных или их функций.

При случайной выборке из популяции ее параметры позволяют получить образец модели линейной регрессии.

В данном аспекте популярнейшим является метод наименьших квадратов. С помощью него получают оценки параметров, которые минимизируют сумму квадратов остатков. Такого рода минимизация (что характерно именно линейной регрессии) этой функции приводит к набору нормальных уравнений и набору линейных уравнений с параметрами, которые решаются с получением оценок параметров.

При дальнейшем предположении, что ошибка популяции обычно распространяется, исследователь может использовать эти оценки стандартных ошибок для создания доверительных интервалов и проведения проверки гипотез о ее параметрах.

Нелинейный регрессионный анализ

Пример, когда функция не является линейной относительно параметров, указывает на то, что сумма квадратов должна быть сведена к минимуму с помощью итерационной процедуры. Это вносит много осложнений, которые определяют различия между линейными и нелинейными методами наименьших квадратов. Следовательно, и результаты регрессионного анализа при использовании нелинейного метода порой непредсказуемы.

Расчет мощности и объема выборки

Здесь, как правило, нет согласованных методов, касающихся числа наблюдений по сравнению с числом независимых переменных в модели. Первое правило было предложено Доброй и Хардином и выглядит как N = t^n, где N является размер выборки, n - число независимых переменных, а t есть числом наблюдений, необходимых для достижения желаемой точности, если модель имела только одну независимую переменную. Например, исследователь строит модель линейной регрессии с использованием набора данных, который содержит 1000 пациентов (N). Если исследователь решает, что необходимо пять наблюдений, чтобы точно определить прямую (м), то максимальное число независимых переменных, которые модель может поддерживать, равно 4.

Другие методы

Несмотря на то что параметры регрессионной модели, как правило, оцениваются с использованием метода наименьших квадратов, существуют и другие методы, которые используются гораздо реже. К примеру, это следующие методы:

• Байесовские методы (например, байесовский метод линейной регрессии).
• Процентная регрессия, использующаяся для ситуаций, когда снижение процентных ошибок считается более целесообразным.
• Наименьшие абсолютные отклонения, что является более устойчивым в присутствии выбросов, приводящих к квантильной регрессии.
• Непараметрическая регрессия, требующая большого количества наблюдений и вычислений.
• Расстояние метрики обучения, которая изучается в поисках значимого расстояния метрики в заданном входном пространстве.

Программное обеспечение

Все основные статистические пакеты программного обеспечения выполняются с помощью наименьших квадратов регрессионного анализа. Простая линейная регрессия и множественный регрессионный анализ могут быть использованы в некоторых приложениях электронных таблиц, а также на некоторых калькуляторах. Хотя многие статистические пакеты программного обеспечения могут выполнять различные типы непараметрической и надежной регрессии, эти методы менее стандартизированы; различные программные пакеты реализуют различные методы. Специализированное регрессионное программное обеспечение было разработано для использования в таких областях как анализ обследования и нейровизуализации.

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

Рассмотрим кратко этапы регрессионного анализа.

Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.

Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.

Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).

Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

Оценка точности регрессионного анализа.

Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, - к другому классу.

Задачи регрессионного анализа

Рассмотрим основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии , оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Установление формы зависимости.

Характер и форма зависимости между переменными могут образовывать следующие разновидности регрессии:

положительная линейная регрессия (выражается в равномерном росте функции);

положительная равноускоренно возрастающая регрессия;

положительная равнозамедленно возрастающая регрессия;

отрицательная линейная регрессия (выражается в равномерном падении функции);

отрицательная равноускоренно убывающая регрессия;

отрицательная равнозамедленно убывающая регрессия.

Однако описанные разновидности обычно встречаются не в чистом виде, а в сочетании друг с другом. В таком случае говорят о комбинированных формах регрессии.

Определение функции регрессии.

Вторая задача сводится к выяснению действия на зависимую переменную главных факторов или причин, при неизменных прочих равных условиях, и при условии исключения воздействия на зависимую переменную случайных элементов. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа.

Оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Решение этой задачи сводится к решению задачи одного из типов:

Оценка значений зависимой переменной внутри рассматриваемого интервала исходных данных, т.е. пропущенных значений; при этом решается задача интерполяции.

Оценка будущих значений зависимой переменной, т.е. нахождение значений вне заданного интервала исходных данных; при этом решается задача экстраполяции.

Обе задачи решаются путем подстановки в уравнение регрессии найденных оценок параметров значений независимых переменных. Результат решения уравнения представляет собой оценку значения целевой (зависимой) переменной.

Рассмотрим некоторые предположения, на которые опирается регрессионный анализ.

Предположение линейности, т.е. предполагается, что связь между рассматриваемыми переменными является линейной. Так, в рассматриваемом примере мы построили диаграмму рассеивания и смогли увидеть явную линейную связь. Если же на диаграмме рассеивания переменных мы видим явное отсутствие линейной связи, т.е. присутствует нелинейная связь, следует использовать нелинейные методы анализа.

Предположение о нормальности остатков . Оно допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения можно воспользоваться гистограммамиостатков .

При использовании регрессионного анализа следует учитывать его основное ограничение. Оно состоит в том, что регрессионный анализ позволяет обнаружить лишь зависимости, а не связи, лежащие в основе этих зависимостей.

Регрессионный анализ дает возможность оценить степень связи между переменными путем вычисления предполагаемого значения переменной на основании нескольких известных значений.

Уравнение регрессии.

Уравнение регрессии выглядит следующим образом: Y=a+b*X

При помощи этого уравнения переменная Y выражается через константу a и угол наклона прямой (или угловой коэффициент) b, умноженный на значение переменной X. Константу a также называют свободным членом, а угловой коэффициент - коэффициентом регрессии или B-коэффициентом.

В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.

Остаток - это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения).

Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис "Пакет анализа" и инструмент анализа "Регрессия". Задаем входные интервалы X и Y. Входной интервал Y - это диапазон зависимых анализируемых данных, он должен включать один столбец. Входной интервал X - это диапазон независимых данных, которые необходимо проанализировать. Число входных диапазонов должно быть не больше 16.

На выходе процедуры в выходном диапазоне получаем отчет, приведенный в таблице 8.3а -8.3в .

ВЫВОД ИТОГОВ

Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.

Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .

В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.

Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значениеR-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.

множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).

Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно,множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).

Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б . Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).

Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:

Y= x*2,305454545+2,694545455

Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

В таблице 8.3в . представлены результаты выводаостатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента "Регрессия" активировать чекбокс "Остатки".

ВЫВОД ОСТАТКА

При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение остатка в нашем случае - 0,778, наименьшее - 0,043. Для лучшей интерпретации этих данных воспользуемся графиком исходных данных и построенной линией регрессии, представленными нарис. 8.3 . Как видим, линия регрессии достаточно точно "подогнана" под значения исходных данных.

Следует учитывать, что рассматриваемый пример является достаточно простым и далеко не всегда возможно качественное построение регрессионной прямой линейного вида.

Рис. 8.3. Исходные данные и линия регрессии

Осталась нерассмотренной задача оценки неизвестных будущих значений зависимой переменной на основании известных значений независимой переменной, т.е. задача прогнозирования.

Имея уравнение регрессии, задача прогнозирования сводится к решению уравнения Y= x*2,305454545+2,694545455 с известными значениями x. Результаты прогнозирования зависимой переменной Y на шесть шагов вперед представлены в таблице 8.4 .

Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Microsoft Excel мы:

построили уравнение регрессии;

установили форму зависимости и направление связи между переменными - положительная линейная регрессия, которая выражается в равномерном росте функции;

установили направление связи между переменными;

оценили качество полученной регрессионной прямой;

смогли увидеть отклонения расчетных данных от данных исходного набора;

предсказали будущие значения зависимой переменной.

Если функция регрессии определена, интерпретирована и обоснована, и оценка точности регрессионного анализа соответствует требованиям, можно считать, что построенная модель и прогнозные значения обладают достаточной надежностью.

Прогнозные значения, полученные таким способом, являются средними значениями, которые можно ожидать.

В этой работе мы рассмотрели основные характеристики описательной статистики и среди них такие понятия, каксреднее значение ,медиана ,максимум ,минимум и другие характеристики вариации данных.

Также было кратко рассмотрено понятие выбросов . Рассмотренные характеристики относятся к так называемому исследовательскому анализу данных, его выводы могут относиться не к генеральной совокупности, а лишь к выборке данных. Исследовательский анализ данных используется для получения первичных выводов и формирования гипотез относительно генеральной совокупности.

Также были рассмотрены основы корреляционного и регрессионного анализа, их задачи и возможности практического использования.

Лекция 3.

Регрессионный анализ.

1) Числовые характеристики регрессии

2) Линейная регрессия

3) Нелинейная регрессия

4) Множественная регрессия

5) Использование MS EXCEL для выполнения регрессионного анализа

Контрольно-оценочное средство - тестовые задания

1. Числовые характеристики регрессии

Регрессионный анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения.

Цели регрессионного анализа

• Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными).
• Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых).
• Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой.

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.

Для проведения регрессионного анализа первоначально необходимо познакомиться с базовыми понятиями статистики и теории вероятности.

Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Случайные величине делят на две разновидности:

• · дискретные, которые могут принимать только конкретные, заранее оговоренные значения (например, - значения чисел на верхней грани брошенной игральной кости или порядковые значения текущего месяца);
• · непрерывные (чаще всего - значения некоторых физических величин: веса, расстояния, температуры и т.п.), которые по законам природы могут принимать любые значения, хотя бы и в некотором интервале.

Закон распределения случайной величины - это соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и ее вероятностями, обычно записывается в таблицу:

Статистическое определение вероятности выражается через относительную частоту случайного события, то есть находится как отношение количества случайных величин к общему числу случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений значений величины X на вероятности этих значений. Математическое ожидание обозначают или M (X ) .

n

= M (X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n = S x i p i

i =1

Рассеяние случайной величины относительно её математического ожидания определяется с помощью числовой характеристики, называемой дисперсией. Проще говоря, дисперсия - это разброс случайной величины относительно среднего значения. Для понятия сущности дисперсии рассмотрим пример. Средняя заработная плата по стране составляет около 25 тысяч рублей. Откуда берется эта цифра? Скорее всего, складываются все зарплаты и делятся на количество работников. В данном случае очень большая дисперсия (минимальная зарплата около 4 тыс. руб., а максимальная - около 100 тыс. руб.). Если бы зарплата у всех была одинаковой, то дисперсия была бы равна нулю, и разброса бы не было.

Дисперсией дискретной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата разности случайной величины и её математического ожидания:

D = M [ ((X - M (X)) 2 ]

Используя определение математического ожидания для вычисления дисперсии, получаем формулу:

D = S (x i - M (X)) 2 · p i

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, используют среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют корень квадратный из её дисперсии.

Среднее квадратичное отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Пример.

Закон распределения случайной величины Х задан следующей таблицей:

Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Используем приведенные выше формулы:

М (Х) = 1 · 0,1 + 2 · 0,4 + 4 · 0,4 + 5 · 0,1 = 3

D = (1-3) 2 · 0,1 + (2 - 3) 2 · 0,4 + (4 - 3) 2 · 0,4 + (5 - 3) 2 · 0,1 = 1,6

Пример.

В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 рублей, 10 выигрышей по 100 рублей и 100 выигрышей по 1 рублю при общем числе билетов 10000. Составьте закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета и определите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины.

X 1 = 1000, Х 2 = 100, Х 3 = 1, Х 4 = 0,

Р 1 = 1/10000 = 0,0001, Р 2 = 10/10000 = 0,001, Р 3 = 100/10000 = 0,01, Р 4 = 1 - (Р 1 + Р 2 + Р 3) = 0,9889.

Результаты поместим в таблицу:

Математическое ожидание - сумма парных произведений значения случайной величины на их вероятность. Для данной задачи его целесообразно вычислить по формуле

1000 · 0,0001 + 100 · 0,001 + 1 · 0,01 + 0 · 0,9889 = 0,21 рубля.

Получили настоящую «справедливую» цену билета.

D = S (x i - M (X)) 2 · p i = (1000 - 0,21) 2 0,0001 + (100 - 0,21) 2 0,001 +

+ (1 - 0,21) 2 0,01 + (0 - 0,21) 2 0,9889 ≈ 109,97

Функция распределения непрерывных случайных величин

Величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение (при этом заранее неизвестно какое), называется случайной величиной. Как говорилось выше, случайные величины бывают дискретные (прерывные) и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, принимающую отдельные друг от друга возможные значения с определенными вероятностями, которые можно пронумеровать.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

До этого момента мы ограничивались только одной “разновидностью” случайных величин - дискретных, т.е. принимающих конечные значения.

Но теория и практика статистики требуют использовать понятие непрерывной случайной величины - допускающей любые числовые значения, из какого - либо интервала.

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности. f (х). Вероятность Р (a < X < b) того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадет в промежуток (a; b), определяется равенством

Р (a < X < b) = ∫ f (x ) dx

График функции f (х) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (a; b), равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х = а, х = b.

P(a£X

Если от сложного события вычесть конечное либо счетное множество, вероятность наступления нового события останется неизменной.

Функция f(x) - числовая скалярная функция действительного аргумента x называется плотностью вероятности, и существует в точке x, если в этой точке существует предел:

Свойства плотности вероятности:

1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией, т. е. f(x) ≥ 0

(если все значения случайной величины Х заключены в промежутке (a;b), то последнее

равенство можно записать в виде ∫ f (x) dx = 1).

Рассмотрим теперь функцию F(х) = Р (Х < х). Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины Х. Функция F(х) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Если f (x) - функция плотности распределения вероятности

непрерывной случайной величины Х, то F (х) = ∫ f(x) dx = 1).

Из последнего равенства следует, что f (x) = F" (x)

Иногда функцию f(x) называют дифференциальной функцией распределения вероятности, а функцию F(x) - интегральной функцией распределения вероятности.

Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:

1. F (х) - неубывающая функция.
2. F (- ∞) = 0.
3. F (+ ∞) = 1.

Понятие функции распределения является центральным в теории вероятностей. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения F(х) непрерывна.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание, дисперсия и другие параметры любых случайных величин практически всегда вычисляются по формулам, вытекающим из закона распределения.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:

М (Х) = ∫ x · f(x ) dx

Дисперсия:

D (X) = ∫ (x - М (Х)) 2 f (x ) dx или D (X) = ∫ x 2 f(x ) dx - (М (Х)) 2

2. Линейная регрессия

Пусть составляющие Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) зависимы. Будем считать, что одну из них можно приближенно представить как линейную функцию другой, например

Y ≈ g(Х) = α + βХ, и определим параметры α и β с помощью метода наименьших квадратов.

Определение. Функция g(Х) = α + βХ называется наилучшим приближением Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М(Y - g(Х)) 2 принимает наименьшее возможное значение; функцию g(Х) называют среднеквадратической регрессией Y на Х.

Теорема Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид:

где - коэффициент корреляции Х иY.

Коэффициенты уравнения.

Можно проверить, что при этих значениях функция функция F(α, β)

F (α, β ) = M (Y - α - βX )² имеет минимум, что доказывает утверждение теоремы.

Определение. Коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на Х , а прямая - - прямой среднеквадратической регрессии Y на Х .

Подставив координаты стационарной точки в равенство, можно найти минимальное значение функции F(α, β), равное Эта величина называется остаточной дисперсией Y относительно Х и характеризует величину ошибки, допускаемой при замене Y на

g(Х) = α+βХ. При остаточная дисперсия равна 0, то есть равенство является не приближенным, а точным. Следовательно, при Y и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии Х на Y:

и остаточную дисперсию Х относительно Y. При обе прямые регрессии совпадают. Сопоставив уравнения регрессии У на Х и Х на У и решив систему из уравнений, можно найти точку пересечения прямых регрессии - точку с координатами (т х, т у), называемую центром совместного распределения величин Х и Y.

Алгоритм составления уравнений регрессии рассмотрим из учебника В. Е. Гмурмана «Теория вероятности и математическая статистика» стр. 256.

1) Составить расчетную таблицу, в которой будут записаны номера элементов выборки, варианты выборки, их квадраты и произведение.

2) Вычислить сумму по всем столбцам, кроме номера.

3) Вычислить средние значения для каждой величины, дисперсии и средне квадратические отклонения.

5) Проверить гипотезу о существовании связи между Х и У.

6) Составить уравнения обеих линий регрессии и изобразить графики этих уравнений.

Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х - это выборочный коэффициент регрессии

Коэффициент b=

Получим искомое уравнение линии регрессии У на Х:

У = 0,202 Х + 1,024

Аналогично уравнение регрессии Х на У:

Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х - это выборочный коэффициент регрессии pxy:

Коэффициент b=

Х = 4,119У - 3,714

3. Нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например:

Полиномы разных степеней

Равносторонняя гипербола - ;

Полулогарифмическая функция - .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например:

Степенная - ;

Показательная - ;

Экспоненциальная - .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению, оценка параметров которого при помощи Метода наименьших квадратов приводит к системе уравнений:

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y .

Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Также можно использовать Метод наименьших квадратов для составления системы линейных уравнений.

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости: , и другие.

Равносторонняя гипербола и полулогарифмическая кривая используют для описания кривой Энгеля (математическое описание взаимосвязи доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов)). Уравнения, в которых входят, применяются в исследованиях урожайности, трудоемкости сельскохозяйственного производства.

4. Множественная регрессия

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

где - зависимая переменная (результативный признак);

Независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

линейная -

степенная -

экспонента -

гипербола - .

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для ее решения может быть применен метод определителей:

где - определитель системы;

Частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии - уравнение регрессии в стандартизированном масштабе, к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе применим МНК.

5. Использование MS EXCEL для выполнения регрессионного анализа

Регрессионный анализ устанавливает формы зависимости между случайной величиной Y (зависимой) и значениями одной или нескольких переменных величин (независимых), причем значения последних считаются точно заданными. Такая зависимость обычно определяется некоторой математической моделью (уравнением регрессии), содержащей несколько неизвестных параметров. В ходе регрессионного анализа на основании выборочных данных находят оценки этих параметров, определяются статистические ошибки оценок или границы доверительных интервалов и проверяется соответствие (адекватность) принятой математической модели экспериментальным данным.

В линейном регрессионном анализе связь между случайными величинами предполагается линейной. В самом простом случае в парной линейной регрессионной модели имеются две переменные Х и Y. И требуется по n парам наблюдений (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn) построить (подобрать) прямую линию, называемую линией регрессии, которая «наилучшим образом» приближает наблюдаемые значения. Уравнение этой линии y=аx+b является регрессионным уравнением. С помощью регрессионного уравнения можно предсказать ожидаемое значение зависимой величины y, соответствующее заданному значению независимой переменной x. В случае, когда рассматривается зависимость между одной зависимой переменной Y и несколькими независимыми X1, X2, ..., Xm, говорят о множественной линейной регрессии.

В этом случае регрессионное уравнение имеет вид

y = a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a m x m ,

где a0, a1, a2, …, am - требующие определения коэффициенты регрессии.

Коэффициенты уравнения регрессии определяются при помощи метода наименьших квадратов, добиваясь минимально возможной суммы квадратов расхождений реальных значений переменной Y и вычисленных по регрессионному уравнению. Таким образом, например, уравнение линейной регрессии может быть построено даже в том случае, когда линейная корреляционная связь отсутствует.

Мерой эффективности регрессионной модели является коэффициент детерминации R2 (R-квадрат). Коэффициент детерминации может принимать значения между 0 и 1 определяет, с какой степенью точности полученное регрессионное уравнение описывает (аппроксимирует) исходные данные. Исследуется также значимость регрессионной модели с помощью F-критерия (Фишера) и достоверность отличия коэффициентов a0, a1, a2, …, am от нуля проверяется с помощью критерия Стьюдента.

В Excel экспериментальные данные аппроксимируются линейным уравнением до 16 порядка:

y = a0+a1x1+a2x2+…+a16x16

Для получения коэффициентов линейной регрессии может быть использована процедура «Регрессия» из пакета анализа. Также полную информацию об уравнении линейной регрессии дает функция ЛИНЕЙН. Кроме того, могут быть использованы функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК для получения параметров регрессионного уравнения и функция ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗ для получения предсказанных значений Y в требуемых точках (для парной регрессии).

Рассмотрим подробно применение функции ЛИНЕЙН (известные_y, [известные_x], [константа], [статистика]): известные_у - диапазон известных значений зависимого параметра Y. В парном регрессионном анализе может иметь любую форму; в множественном должен быть строкой либо столбцом; известные_х - диапазон известных значений одного или нескольких независимых параметров. Должен иметь ту же форму, что и диапазон Y (для нескольких параметров - соответственно несколько столбцов или строк); константа - логический аргумент. Если исходя из практического смысла задачи регрессионного анализа необходимо, чтобы линия регрессии проходила через начало координат, то есть свободный коэффициент был равен 0, значение этого аргумента следует положить равным 0 (или «ложь»). Если значение положено 1 (или «истина») или опущено, то свободный коэффициент вычисляется обычным образом; статистика - логический аргумент. Если значение положено 1 (или «истина»), то дополнительно возвращается регрессионная статистика (см таблицу), используемая для оценки эффективности и значимости модели. В общем случае для парной регрессии y=аx+b результат применения функции ЛИНЕЙН имеет вид:

Таблица. Выводной диапазон функции ЛИНЕЙН для парного регрессионного анализа

В случае множественного регрессионного анализа для уравнения y=a0+a1x1+a2x2+…+amxm в первой строке выводятся коэффициенты am,…,a1,а0, во второй - стандартные ошибки для этих коэффициентов. В 3-5 строках за исключением первых двух столбцов, заполненных регрессионной статистикой, будет получено значение #Н/Д.

Вводить функцию ЛИНЕЙН следует как формулу массива, выделив вначале массив нужного размера для результата (m+1 столбец и 5 строк, если требуется регрессионная статистика) и завершив ввод формулы нажатием CTRL+SHIFT+ENTER.

Результат для нашего примера:

Кроме этого в программе имеется встроенная функция - Анализ данных на вкладке Данные.

С помощью нее можно также выполнять регрессионный анализ:

На слайде - результат регрессионного анализа, выполненного с помощью Анализа данных.

Уравнения регрессии, которые мы смотрели ранее также построены в MS Excel. Для их выполнения сначала строится Точечная диаграмма, затем через контекстное меню выбираем - Добавить линию тренда. В новом окне ставим галочки - Показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности апроксимации (R^2).

Литература:

1. Теория вероятностей и математическая статистика. Гмурман В. Е. Учебное пособие для вузов. - Изд. 10-е, стер. - М.: Высш. шк., 2010. - 479с.
2. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов / Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. В 2 ч. - Изд. 6-е, стер. - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и образование» , 2007. - 416 с.
   1. 3. http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F - некоторые сведения о регрессионном анализе