В данной статье мы рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения общего уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и нормальный вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в общем виде в канонический и параметрический виды.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxy . Рассмотрим уравнение первой степени или линейное уравнение:

где A, B, C − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A и B отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение на плоскости определяет прямую. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости определяет прямую линию.

Доказательство. Достаточно доказать, что прямая L определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть на плоскости задана прямая L . Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадал с прямой L , а ось Oy был перпендикулярной к ней. Тогда уравнение прямой L примет следующий вид:

Все точки на прямой L будут удовлетворять линейному уравнению (2), а все точки вне этой прямой, не будут удовлетворять уравнению (2). Первая часть теоремы доказана.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат и пусть задана линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A и B отличен от нуля. Найдем геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Так как хотя бы один из коэффициентов A и B отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение M (x 0 ,y 0). (Например, при A ≠0, точка M 0 (−C/A , 0) принадлежит данному геометрическому месту точек). Подставляя эти координаты в (1) получим тождество

Вычтем из (1) тождество (3):

Очевидно, что уравнение (4) эквивалентно уравнению (1). Поэтому достаточно доказать, что (4) определяет некоторую прямую.

Поскольку мы рассматриваем декартову прямоугольную систему координат, то из равенства (4) следует, что вектор с компонентами {x−x 0 , y−y 0 } ортогонален вектору n с координатами {A,B }.

Рассмотрим некоторую прямую L , проходящую через точку M 0 (x 0 , y 0) и перпендикулярной вектору n (Рис.1). Пусть точка M (x ,y) принадлежит прямой L . Тогда вектор с координатами x−x 0 , y−y 0 перпендикулярен n и уравнение (4) удовлетворено (скалярное произведение векторов n и равно нулю). Обратно, если точка M (x ,y) не лежит на прямой L , то вектор с координатами x−x 0 , y−y 0 не ортогонален вектору n и уравнение (4) не удовлетворено. Теорема доказана.

Доказательство. Так как прямые (5) и (6) определяют одну и ту же прямую, то нормальные векторы n 1 ={A 1 ,B 1 } и n 2 ={A 2 ,B 2 } коллинеарны. Так как векторы n 1 ≠0, n 2 ≠0, то существует такое число λ , что n 2 =n 1 λ . Отсюда имеем: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Докажем, что C 2 =C 1 λ . Очевидно, что совпадающие прямые имеют общую точку M 0 (x 0 , y 0). Умножая уравнение (5) на λ и вычитая из него уравнение (6) получим:

Так как выполнены первые два равенства из выражений (7), то C 1 λ −C 2 =0. Т.е. C 2 =C 1 λ . Замечание доказано.

Заметим, что уравнение (4) определяет уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) и имеющий нормальный вектор n ={A,B }. Поэтому, если известен нормальный вектор прямой и точка, принадлежащая этой прямой, то можно построить общее уравнение прямой с помощью уравнения (4).

Пример 1. Прямая проходит через точку M =(4,−1) и имеет нормальный вектор n ={3, 5}. Построить общее уравнение прямой.

Решение. Имеем: x 0 =4, y 0 =−1, A =3, B =5. Для построения общего уравнения прямой, подставим эти значения в уравнение (4):

Ответ:

Вектор параллелен прямой L и, следовательно, перпердикулярен нормальному вектору прямой L . Построим нормальный вектор прямой L , учитывая, что скалярное произведение векторов n и равно нулю. Можем записать, например, n ={1,−3}.

Для построения общего уравнения прямой воспользуемся формулой (4). Подставим в (4) координаты точки M 1 (можем взять также координаты точки M 2) и нормального вектора n :

Подставляя координаты точек M 1 и M 2 в (9) можем убедится, что прямая заданная уравнением (9) проходит через эти точки.

Ответ:

Вычтем (10) из (1):

Мы получили каноническое уравнение прямой. Вектор q ={−B , A } является направляющим вектором прямой (12).

Обратное преобразование смотрите .

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 2·5.

Общее уравнение прямой:

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или .

Уравнение не содержит переменной y , а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy .

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или ;

уравнение не содержит переменной x , а определяемая им прямая параллельна оси Ox .

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox .

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy .

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Вектора S 1 и S 2 называются направляющими для своих прямых.

Угол между прямыми l 1 и l 2 определяется углом между направляющими векторами.
Теорема 1: cos угла между l 1 и l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Теорема 2: Для того, чтобы 2 прямые были равны необходимо и достаточно:

Теорема 3: чтобы 2 прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Частные случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат

2. С=0 Ax+By+D = 0 – плоскость || OZ

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – плоскость || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – плоскость || OX

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – плоскость проходит через OX

6. В=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – плоскость проходит через OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – плоскость проходит через OZ

Взаимное расположение плоскостей и прямых линий в пространстве:

1. Углом между прямыми в пространстве называется угол между их направляющими векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Углом между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Косинус угла между прямой и плоскостью можно найти через sin угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

4. 2 прямые || в пространстве, когда их || направляющие вектора

5. 2 плоскости || когда || нормальные вектора

6. Аналогично вводятся понятия перпендикулярности прямых и плоскостей.

Вопрос №14

Различные виды уравнения прямой линии на плоскости(уравнение прямой в отрезках, с угловым коэффициентом и др.)

Уравнение прямой в отрезках:
Допустим, что в общем уравнении прямой:

1. С = 0 Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало координат.

2. а = 0 Ву + С = 0 у =

3. в = 0 Ах + С = 0 х =

4. в=С=0 Ах = 0 х = 0

5. а=С=0 Ву = 0 у = 0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Любая прямая, не равная оси ОУ (В не=0), может быть записана в след. виде:

k = tgα α – угол между прямой и положительно направленной линией ОХ

b – точка пересечения прямой с осью ОУ

Док-во:

Ах+Ву+С = 0

Ву= -Ах-С |:В

Уравнение прямой по двум точкам:

Вопрос №16

Конечный предел функции в точке и при x→∞

Конечный предел в точке х 0:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→х­ 0­ , если для любого Е > 0 существует б > 0 такое, что при х ≠x 0 , удовлетворяющее неравенству |х – х 0 | < б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке +∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→ + ∞ , если для любого Е > 0 существует С > 0, такое что при x > C выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке -∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→-∞, если для любого Е < 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)

где k - пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).

Отсюда находим Подставляя найденное значениеk в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М 1 и М 2:

Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .

Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0), а ось Оу – в точке М 2 (0;b). Уравнение примет вид:
т.е.
. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, т.к. числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где
- координаты точки, через которую проходит прямая, а
- направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке
:

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и, которые называются фокусами, есть величина постоянная
, большая чем расстояние между фокусами
.

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет вид
где a длина большой полуоси; b– длина малой полуоси (рис. 2).

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2), компоненты которого удовлетворяют условию А α 1 + В α 2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример . Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Решение. Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение . Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = λА, В 1 = λВ. Если еще и С 1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример . Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример . Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение . Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример . Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение . Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.