Указать характер точек разрыва функции онлайн. Как исследовать функцию на непрерывность
Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0
называется точкой разрыва функции
f(x)
,
если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
но не является непрерывной в этой точке.
То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x 0 ) функции в точке x 0 . См. «Определение непрерывности функции в точке ».
Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода
, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Определение скачка функции
Скачком Δ функции
в точке называется разность пределов справа и слева
.
Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва
, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.
Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода
, если она не является точкой разрыва 1-го рода.
То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Исследование функций на непрерывность
При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.
- Элементарные функции
и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
, а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям ». - Сумма, разность и произведение
непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций » - Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции »
Примеры
Пример 1
Задана функция и два значения аргумента и .
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.
Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
,
.
Тогда
.
Рассмотрим функцию .
Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной - степенной функцией с показателем степени 1
. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому функция определена и непрерывна для всех ,
кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех ,
кроме точки .
Рассмотрим функцию .
Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной ,
кроме точки .
Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.
График функции y = 4 1/(x+2) .
Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.
Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями , для предела слева имеем:
при ,
,
,
.
Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.
Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.
Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.
В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.
Пример 2
Задана функция .
Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.
График заданной функции.
Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
В входят еще две функции: и .
Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
,
.
Поэтому они также непрерывны для всех .
Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.
Рассмотрим точку .
Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки .
Возьмем окрестность .
На ней .
Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.
Найдем правый предел в точке .
Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность .
На ней .
Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .
Поскольку, в точке ,
предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной - это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.
Теперь рассмотрим точку .
Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.
Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.
Пример 3
Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.
Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех .
Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех ,
за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение :
;
;
;
.
Тогда
.
Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.
Тогда заданная функция примет вид:
(П1)
.
Она определена и непрерывна для всех ,
кроме точек и .
Поэтому точки и являются точками разрыва функции.
Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2)
.
Такую операцию мы можем проделать, если .
Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при ,
а в этой точке не определена.
Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела »). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .
Рассмотрим точку .
Знаменатель дроби в функции ,
при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при .
Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.
Рассмотрим точку .
Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций , имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.
Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода .
Говорят, что функция f (x ) имеет точку разрыва первого рода при x = a , если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
- Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва .
- Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая точка называется точкой конечного разрыва
. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции
.
Функция f (x ) имеет точку разрыва второго рода при x = a , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример 1
Исследовать функцию на непрерывность.
Решение.
Данная функция не определена в точках x = − 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ± 1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
Поскольку левосторонний предел при x = − 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.
Пример 2
Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.
Решение.
Очевидно, данная функция не определена при x =
0. Поскольку sin x
является непрерывной функцией для всехx
, то искомая функция также непрерывна при всех x
за исключением точки x =
0.
Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию
которая будет непрерывной при любом действительном x .
Пример 3
Найти точки разрыва функции , если они существуют.
Решение.
Данная функция существует при всех значениях x , однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.
Вычислим односторонние пределеы при x = 0.
Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен
При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.
Пример 4
Найти точки разрыва функции , если они существуют.
Решение.
Данная элементарная функция определена для всех x , исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.
Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).
![]() | ![]() |
|
Рис.2 | Рис.3 |
Пример 5
Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.
Решение.
Функция определена и непрерывна при всех x , за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.
Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие - .
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки .
Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения и , что , причем .
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где .
Т.е. если , то .
Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что верно неравенство .
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть. в точке функция непрерывна в точке
точка разрыва 1 - го рода
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x ) называется непре-
рывной в точке x 0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x 0 ;
2) существует предел lim f (x ) ;
→ x 0
3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т.е. limf (x )= f (x 0 ) . |
||
x→ x0 |
||
Последнее условие равносильно условию lim | y = 0 , гдеx = x − x 0 – при- |
|
x→ 0 | ||
ращение аргумента, y = f (x 0 + | x )− f (x 0 ) – приращение функции, соответст- |
|
вующее приращению аргумента | x , т.е. функция | f (x ) непрерывна в точкеx 0 |
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функцияy = f (x ) называется непрерыв-
ной слева в точкеx 0 , если она определена на некотором полуинтервале(a ;x 0 ]
и lim f (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 − 0
Функция y = f (x ) называется непрерывнойсправа в точкеx 0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [ x 0 ;a ) и limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0
Функция y = f (x ) | непрерывна в точке x 0 | тогда и только тогда, когда она |
||||||
непрерывна | ||||||||
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) . | ||||||||
x→ x0 + 0 | x→ x0 − 0 | x→ x0 |
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x ) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точкеx этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функцияy = f (x ) называетсяне-
прерывной на отрезке [ a; b] , если она
1) непрерывна в каждой точке интервала (a ;b ) ;
2) непрерывна справа в точке a ;
3) непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точкаx 0 , принадлежащая области определения функцииy = f (x ) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции , еслиf (x ) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x )= f (x 0 − 0) и
x→ x0 − 0
f (x )= f (x 0 + 0) , причем не все три числаf (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) , | f (x 0 ) равны |
||
x→ x0 + 0 | |||
между собой, то x 0 | называется точкой разрыва I рода. | ||
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x 0 | равны меж- |
||
собой, но | не равны значению функции в этой точке: |
f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x 0 )= A , можно видоизменить функцию в точкеx 0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности ). Разностьf (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) называетсяскачком функции в точке x 0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределовf (x 0 − 0) иf (x 0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
f (x) | и g (x ) непрерывны в точкеx 0 , то функции |
||
f (x )± g (x ) , | f (x )g (x ) и | f (x) | (где g (x )≠ 0) также непрерывны в точкеx . |
g(x) | |||
2) Если функция u (x ) непрерывна в точкеx 0 , а функцияf (u ) непрерывна
в точке u 0 = u (x 0 ) , то сложная функцияf (u (x )) непрерывна в точкеx 0 .
3) Все основные элементарные функции (c , x a ,a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-
на и непрерывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда для любого числаC , заключенного
между числами f (a ) иf (b ) , (f (a )< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .
2) (теорема Больцано – Коши
рывна на отрезке [ a ;b ] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке | [ a ;b ] . Тогда эта функция достигает на отрезке[ a ;b ] | |||||
наибольшего | наименьшего | значений, т.е. | существуют | |||
x1 , x2 [ a; b] , | для любой | точки x [ a ;b ] | справедливы | неравенства |
f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3x 2 + 2x − 5 непрерывна в произвольной точкеx 0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x 0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x ) приx → x 0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2 | − 5. |
||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | ||||
Затем вычисляем значение функции в точке x :f (x )= 3x 2 | − 5 . |
||||||
Сравнивая полученные результаты, видим, | lim f (x )= f (x 0 ) , что согласно |
||||||
x→ x0 |
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x 0 .
2 способ: Пусть | x – приращение аргумента в точкеx 0 . Найдем соот- |
|||
ветствующее | приращение | y = f(x0 + x) − f(x0 ) = |
||
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5) | ||||
6 x x+ (x) 2 | 2x = (6x + 2)x + (x )2 . | |||
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу- |
||||
стремится |
y = lim (6x + 2) | x + (x )2 = (6x + 2) lim | x + (limx )2 = 0 . |
|||
x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 |
||
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→ 0
функции для любого x 0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функцииf (x ) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1) f (x ) = 1− x 2 приx < 3;
5x приx ≥ 3
2) f (x )= x 2 + 4 x + 3 ;
x + 1
f (x) = | |||||
x4 (x− 2) |
|||||
f (x )= arctg | |||||
(x − 5) |
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞ ;+∞ ) . На интервалах(−∞ ;3) ,(3;+∞ ) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точкеx = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;
x →3 −0
f (3+ 0)= lim 5x = 15.
x →3 +0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 | |||||
разрыва I | f (x ) . Скачок функции в | ||||
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 . | |||||
f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , поэтому в точке | x = 3 |
f (x ) непрерывна справа.
2) Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = − 1, в которой она не определена. Преобразуем выражение дляf (x ) , разложив числитель
дроби на множители: | f (x) = | 4 x +3 | (x + 1)(x + 3) | X + 3 приx ≠ − 1. |
|||||
x + 1 | x + 1 |
||||||||
Найдем односторонние пределы функции в точке x = − 1: |
|||||||||
f (x )= lim | f (x )= lim(x + 3)= 2 . | ||||||||
x →−1 −0 | x →−1 +0 | x →−1 |
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = − 1 – точка устранимо-
прямую y = x + 3 с «выколотой» точкойM (− 1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .
Таким образом, доопределив f (x ) по непрерывности в точкеx = − 1, мы получили функциюf * (x )= x + 3 с областью определения(−∞ ;+∞ ) .
3) Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x = 0 ,x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0:
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
ко отрицательные значения, то f (− 0)= lim | = −∞ = f (+0) | Т.е. точка |
|||
(x − 2) |
|||||
x →−0 | |||||
x = 0 является точкой разрыва II рода функции | f (x ) . |
Рассмотрим теперь точку x = 2:
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
ваемой точки и положительные – справа, поэтому | f (2− 0)= | = −∞, |
||||||
x4 (x− 2) |
||||||||
x →2 −0 | ||||||||
f (2+ 0)= lim | = +∞ . Как и в предыдущем случае, в точкеx = 2 | |||||||
(x − 2) |
||||||||
x →2 +0 |
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
x = 5 . | ||||||||||||||||||
f (5− 0)= lim arctg | π ,f (5+ 0)= lim arctg | x = 5 | ||||||||||||||||
(x − 5) | (x − 5) | |||||||||||||||||
x →5 −0 | x →5 +0 | |||||||||||||||||
ка разрыва | ||||||||||||||||||
f (5+ 0)− f (5− 0)= | π − (− | π )= π (см. рис. 5.2). | ||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функцииf (x ) в
каждой точке x 0 R :
а) f(x) = c= const; | б) f (x )= x ; | ||
в) f (x )= x 3 ; | г) f (x )= 5x 2 − 4x + 1; |
||
д) f (x )= sinx . | |||
5.175. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | является непрерывной на |
1 при x < 0 | |||
всей числовой оси. Построить график этой функции. | |||
5.176. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | не является непрерывной |
0 при x < 0 |
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функцииf (x ) .
рывной в точке x = | Но непрерывна слева в этой точке. Построить график |
|||||||||||||
функции f (x ) . | ||||||||||||||
5.178. Построить графики функций | ||||||||||||||
а) y = | x + 1 | б) y= x+ | x + 1 | |||||||||||
x + 1 | x + 1 | |||||||||||||
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
sin x | При x ≠ 0 | ||
при x = 0 | |||
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?
Устранимый разрыв.
Определение . Точка a называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x) , если предел функции f(x) в этой точке существует, но в точке a функция f(x) либо не определена, либо имеет частное значение f(a) , отличное от предела f(x) в этой точке.
Пример . Например, функция
имеет в точке x=0 устранимый разрыв. Действительно, предельное значение этой функции в точке х=0 равно 1. Частное же значение равно 2.
Если функция f(x)
имеет в точке a
устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от a
. Для этого достаточно положить значение функции в точке a
равным ее предельному значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточно положить f(0)=1
и тогда , т.е. функция f(x)
станет непрерывной в точке x=0
.
Разрыв первого рода.
Определение . Точка a называется точкой разрыва, первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы
Приведем некоторые примеры.
Пример . Функция y=sgn x имеет в точке x=0 разрыв первого рода. Действительно, и, таким образом, эти пределы не равны между собой.
Пример
. Функция , определенная всюду, кроме точки x=1
, имеет в точке x=1
разрыв первого рода. В самом деле, .
Разрыв второго рода.
Определение . Точка a называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример . Функция f(x)=tg x , очевидно, имеет разрыв второго рода в каждой из точек x k =π/2+π k , k=0, ± 1, ± 2,… , ибо в каждой такой точке
Пример . Функция имеет разрыв второго рода в точке x=0 , ибо в этой точке у нее не существует ни правого, ни левого пределов.
Непрерывность функции на отрезке
Определение . Функция, определенная на отрезке и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке.
При этом под непрерывность в точке a понимается непрерывность справа, а под непрерывностью в точке b - непрерывность слева.
Будем говорить, что функция y=f(x)
, определенная на множестве {x}
достигает на нем своей верхней (нижней) грани , если существует такая точка x 0 ∈{x}
, что f(x 0)=β
(f(x 0)=α
).
Теорема [Вейерштрасса] . Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.
Теорема [Больцано-Коши] . Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и f(a)=A , f(b)=B , то для любого C , заключенного между A и B , существует такая точка ξ∈ , что f(ξ)=C .
Другими словами, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.
Следствие . Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
Следствие
. Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке
и ,
. Тогда функция f(x)
принимает все значения из отрезка
и только эти значения.
Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.
Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции . Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья - левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.
Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции . График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.
![](https://i2.wp.com/function-x.ru/image/division.jpg)
Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва . Разрывы бывают первого рода и второго рода .
Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы , поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное - односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то - ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то - тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.
Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:
- у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f (x )= );
- в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.
Точки разрыва первого рода
Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).
Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.
Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.
Точки разрыва второго рода
Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).
Пример 3.
Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.
![](https://i2.wp.com/function-x.ru/image/discon3.jpg)
Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .
Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции
Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке.
- Белая мышь толкование по соннику
- Плавание, Юлия Ефимова: биография участницы Олимпиады в Рио
- Святой преподобный антоний римлянин, новгородский чудотворец
- Рецепт: Печенье "Кинако" - из соевой муки Соевая мука что
- Чем полезно соевое молоко для красоты и здоровья и как его приготовить дома Соевое молоко из соевых бобов
- Имитированная икра: из чего её делают, польза и вред
- Рецепт: Мясные клубочки - в слоеном тесте запеченные в духовом шкафу Ингредиенты на мясные клубочки в слоеном тесте
- Замороженная вишня – калорийность продукта; как заготовить на зиму в домашних условиях с видео; применение в кулинарии; польза и вред
- Лев и Близнецы: совместимость двух сильных знаков Лев и близнецы гороскоп
- Интересные факты о киевском софийском соборе
- Фенол сообщение. Применение фенола. Физические свойства фенола
- Рубль — круглый: смотри, чтоб не укатился
- Какие желания можно загадать?
- Андреевская церковь – шедевр архитектурного стиля барокко
- К чему снится лошадь женщине, незамужней девушке, беременной?
- Как приготовить сырный крекер
- Гороскоп — Весы Гороскоп с 18 по 25 сентября
- К чему снятся татуировки: значение сна
- Икона спиридона тримифунтского в чем помогает
- День народного единства - история появления праздника